ما هي الأعداد الصحيحة

ما هي الأعداد الصحيحة في الرياضيات ، وما هي مجموعاتها وخصائصها وعملياتها الحسابية المبنية عليها؟ من الأشياء المهمة التي يحتاجها الطالب ليس فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية ، حتى في معظم مجالات الحياة وجوانبها التي نحتاجها ، وكالعادة ، سيجيب موقعنا على جميع أسئلتك المتعلقة هذا وغيره من الموضوعات التي تهمك.

ما هي الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية ، وهي عبارة عن أعداد لا تحتوي على جزء عشري أو كسري. تحتوي الأعداد الصحيحة ككل على أرقام سالبة وموجبة ، بما في ذلك الصفر. في نظرية الأعداد الجبرية ، تُصنف الأعداد الصحيحة أحيانًا على أنها أعداد صحيحة منطقية للتمييز. أمثلة على الأعداد الصحيحة: -5 و 0 و 1 و 5 و 8 و 97 و 3043.

راجع أيضًا: يمكن كتابة الرقم 625 بالأشكال الأسية التالية

مجموعة الأعداد الصحيحة

تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها Z ما يلي:

• الأعداد الصحيحة الموجبة: يكون العدد الصحيح موجبًا إذا كان أكبر من الصفر ، على سبيل المثال: 1 ، 2 ، 3 ، إلخ.
• الأعداد الصحيحة السالبة: تكون الأعداد الصحيحة سالبة إذا كانت أقل من الصفر ، على سبيل المثال: -1 ، -2 ، -3 وغيرها.
• عدد صحيح محايد: الصفر ليس عددًا صحيحًا سالبًا أو موجبًا ، إنه عدد صحيح محايد.
  مثال: Z = {… -7 ، -6 ، -5 ، -4 ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، …} والأرقام الموجبة والسالبة والأرقام الأخرى كلها أعداد صحيحة.

خصائص الأعداد الصحيحة

هناك خمس خصائص رئيسية للأعداد الصحيحة ، وهنا شرح مفصل لكل خاصية:

خاصية الإغلاق

• تنص خاصية الإغلاق تحت الجمع والطرح على أن مجموع أو فرق عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا ، أي إذا كان x و y عددًا صحيحًا ، فإن x + y و x – y سيكونان أيضًا عددًا صحيحًا ، مثال 1: 3 – 4 = 3 + (−4) = 1، (5) + 8 = 3 النتائج أعداد صحيحة.
• تشير خاصية الإغلاق تحت الضرب إلى أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا ، أي إذا كان x و y أي عدد صحيح ، فسيكون xy أيضًا عددًا صحيحًا ، المثال 2: 6 x 9 = 54 ؛ (–5) x (3) = 15 وهي أعداد صحيحة.
• لا يتبع قسمة الأعداد الصحيحة خاصية الإغلاق ، أي أن قسمة عددين صحيحين x و y قد تكون أو لا تكون عددًا صحيحًا ، المثال 3: (−3) ÷ (−6) = ½ n ليس عددًا صحيحًا.

خاصية التبادل

• تنص الخاصية التبادلية للجمع والضرب على أن ترتيب المصطلحات لا يهم وأن النتيجة ستكون هي نفسها سواء كانت إضافة أو ضرب. لن يغير تبادل المصطلحات المجموع أو المنتج ، لنفترض أن x و y هما أي عددان صحيحان ، ثم: ⇒ x + y = y + x، ⇒ xxy = yxx، مثال 4: 4 + (−6) = – 2 = (−6) + 4، 10 x (−3) = 30 = (3) x 10 .
• لكن الطرح (x – y ≠ y – x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) غير قابلين للتبديل للأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة ، المثال 5: 4 – (6) = 10 ؛ (−6) – 4 = 10 ⇒ 4 – (6) ≠ (6) – 4 ، مثال: 10 ÷ 2 = 5 ؛ 2 ÷ 10 = 10 2 2 10

خاصية الأقواس

• تشير الخاصية الترابطية للجمع والضرب إلى أنه لا يهم كيف يتم تجميع الأرقام وأن النتيجة ستكون هي نفسها ، يمكن للمرء تجميع الأرقام بأي طريقة ولكن الإجابة ستبقى كما هي ، ويمكن عمل الأقواس بغض النظر عن ترتيب المصطلحات ، افترض أن x و y و z هي أي ثلاثة أرقام صحيحة ⇒ x + (y + z) = (x + y) + z ⇒ xx (yxz) = (xxy) xz مثال 6: 1 + (2 + (- 3) = 0 = (1 + 2) + (−3) ؛ 1 × (2 × (−3)) = 6 = (1 × 2) × (−3).
• الطرح الصحيح ليس ترابطيًا في الطبيعة ، أي x – (y – z) ≠ (x – y) – z ، مثال 7: 1 – (2 – (−3)) = −4 ؛ (1-2) – (−3) = 2 ، 1 – (2 – (−3)) ≠ (1-2) – (−3)

خاصية التوزيع

التوزيعي يوضح إمكانية توزيع العمليات على عملية حسابية أخرى في شريحة. يمكن أن يكون إما خاصية التوزيع للضرب على الجمع أو خاصية التوزيع للضرب على الطرح. هنا ، تُجمع الأعداد الصحيحة أو تُطرح أولاً ، ثم تُضرب أو تُضرب أولاً. مع كل رقم بين قوسين ، ثم جمعها أو طرحها. يمكن تمثيل ذلك لجميع الأعداد الصحيحة x و y و z على النحو التالي:

• ⇒ xx (y + z) = xxy + xxz
• ⇒ xx (y – z) = xxy – xxz

مثال 8: −5 (2 + 1) = 15 = (5 × 2) + (−5 × 1)

خاصية الهوية

• تقول خاصية الهوية المضافة أنه عند إضافة عدد صحيح إلى الصفر فإنه سيعطي نفس الرقم ، ويسمى الصفر الهوية المضافة لأي عدد صحيح x ، x + 0 = x = 0 + x
• تقول خاصية الهوية المتعددة للأعداد الصحيحة أنه عندما يتم ضرب رقم في 1 ، فإنه سيعطي نفس العدد الصحيح لمنتج الضرب ، لذلك يُطلق على الرقم 1 الهوية المتعددة لرقم ، لأي عدد صحيح x ، xx 1 = x = 1 xx
• إذا تم ضرب عدد صحيح في 0 ، فستكون النتيجة صفرًا: xx 0 = 0 = 0 xx
• إذا تم ضرب عدد صحيح في -1 ، فسيكون حاصل الضرب عكس الرقم: xx (−1) = −x = (−1) x x.

انظر أيضًا: ما هو الرقم الذي يمكن وضعه في الفراغ حتى تكون الجملة صحيحة؟

العمليات على الأعداد الصحيحة

ترتبط العمليات الحسابية الأساسية الأربع بأعداد صحيحة وهذه العمليات هي:

جمع الأعداد الصحيحة

يتم وضع الرقم صفر في منتصف خط الأعداد ، لذلك عندما نمتد إلى يمين الصفر لدينا أرقام موجبة وتمتد الأرقام السالبة إلى يسار الصفر ، عند إضافة الأعداد الصحيحة الموجبة و d “الأعداد الصحيحة السالبة” ، تخيل أننا نتحرك على طول خط الأعداد ، ونجمع ونطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد ، ونجمع ونطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد ، فإليك قواعد إضافة الأعداد الصحيحة:

• عند إضافة رقمين متشابهين بعلامة ، نضع العلامة ثم نضيف: على سبيل المثال: إذا افترضنا أنه طُلب منا إضافة الرقمين 4 و 3 ، فسنبدأ بالذهاب إلى الرقم 4 على خط الأعداد ، نقل أربع وحدات بالضبط إلى يمين الصفر ، ثم نحتاج إلى تحريك ثلاث وحدات إلى اليمين ، وبما أننا وضعنا سبع وحدات على يمين الصفر ، نقول إن مجموع 3 و 4 يساوي 7 ، (+3) + (+4) = +4 ، أو (-3) – (-4) = (-7).

• عندما نضيف عددين مختلفين بعلامة ، نضع علامة الأكبر عندما نطرح:) إذا طُلب منا جمع العددين 8 و -2 ، فسنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر ، فسنبدأ حرك وحدتين إلى اليسار من هناك لأننا نعلم أن الأعداد السالبة تحركنا إلى الجانب الأيسر من خط الأعداد ، نظرًا لأن آخر موضع لدينا هو ست وحدات على يمين الصفر ، يمكننا القول أن مجموع 8 و -2 هو يساوي 6 ، (-2) + (+8) = +6 ، (+2) – (-8) = -6.

طرح الأعداد الصحيحة

يتم تحويل مشاكل الطرح إلى مشاكل الجمع. يتم اتباع خطوتين رئيسيتين عند طرح رقمين:

• يمكنك استبدال علامة الطرح في السؤال المحدد بعلامة الجمع: (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
• إنه يعكس علامة الرقم فورًا بعد علامة الجمع الموضوعة حديثًا: (+4) – (+3) = (+4) + (-3).

وفقًا لهذه الخطوات ، يتعين علينا تغيير علامة الطرح إلى علامة الجمع في أي سؤال ، وعلينا أن نأخذ عكس 3 وهو -3 حتى تصبح المشكلة الآن:

• (+4) + (-3) الآن ، باستخدام قواعد الجمع ، الإجابة التي نحصل عليها هي +1.
• = (+ 4) – (+3)
• = (+ 4) + (-3)
• = + 1

فيما يلي بعض الأمثلة لفهم أفضل:

• مثال 1) -2 – 7 = -2 + (-7) = -9
• مثال 2) 6 – (-2) = 6 + 2 = 8
• مثال 3) -7 – (-2) = -7 + 2 = -5

ضرب الأعداد الصحيحة 

القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند ضرب عددين صحيحين هي القيام بعملية الضرب دون وضع إشارة ، فسيكون لديك قاعدتان بعد ضرب العددين:

• تكون علامة النتيجة موجبة إذا كان للرقمين نفس العلامة: (+4) x (+3) = +12، (-4) x (-3) = +12.
• تكون علامة النتيجة سالبة إذا كان للرقمين نفس العلامة: (-4) x (+3) = -12 ، (+4) x (-3) = -12.

قسمة الأعداد الصحيحة 

القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند قسمة عددين صحيحين هي أننا نقوم بعملية القسمة دون وضع علامة ، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد قسمة العددين:

• تكون علامة المنتج موجبة إذا كان للرقمين نفس العلامة: (+12) ÷ (+3) = +4 ، (-12) ÷ (-3) = +4.
• تكون علامة المنتج سالبة إذا كان للرقمين نفس العلامة: (-12) ÷ (+3) = -4 ، (+12) ÷ (-3) = -4.

بهذا القدر من المعلومات ، وصلنا إلى نهاية هذه المقالة التي كانت بعنوان ما هي الأعداد الصحيحة ، والتي قدمنا ​​فيها معلومات حول مجموعات الأعداد الصحيحة وخواصها الخمسة ، وفي نهاية المقال ، قدمنا ​​لك عمليات على الأعداد الصحيحة مع أمثلة لإثراء تفكير قرائنا الأعزاء.