بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كامل

بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية كاملهناك العديد من القوانين والقواعد والنظريات التي تتبع علم الرياضيات والمتواليات والتتابعات الحسابية والهندسية. تشرح إحدى هذه النظريات الترتيب المنطقي لمجموعة من الأشياء المتشابهة وفقًا لقاعدة معينة. من خلال موقعنا ، سنقوم بتضمين بحث كامل ومتكامل عن المتتاليات الحسابية والهندسية بطريقة متسلسلة.

مقدمة بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

في بداية بحثنا حول المتتاليات والمتسلسلات الحسابية والهندسية ، سنتحدث عن تعريف المتتالية ، وأنواع المتتاليات الهندسية والحسابية بالتفصيل ، مع أمثلة وتفسيرات مختلفة لذلك ، ثم ننتقل إلى طريقة لإيجاد أساس المتتاليات من خلال تحديد نوعها ومن ثم تحديد المتسلسلات وشرح مفصل عنها.

بحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

المتتاليات والمتسلسلات هي أحد فروع الرياضيات المهمة ، لأنها تشرح كيفية تنظيم الترتيب الحسابي لمجموعة من الأرقام وفقًا لقاعدة معينة. تعريف التسلسل كما يلي:

تعريف المتتابعات

يُعرَّف التسلسل بأنه ترتيب محدد لمجموعة من الأرقام التي تتبع قاعدة معينة ، ويتم التعامل مع المتتاليات كدالة مجالها هو مجموعة الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها ، ومداها عبارة عن مجموعة جزئية من الأرقام الحقيقية . الأرقام ، وعناصر النطاق تسمى حدود التسلسل ، حتى لو كانت n فهي تمثل حدود التسلسل ، لذلك تمثل hn الحد التاسع للمتابعة ، ويأتي مثال بسيط لتحديد المعنى من التسلسل أو التسلسل: إذا افترض وجود عدة مربعات متتالية وفي كل مربع مجموعة من الألعاب ، فإن ترتيب المربعات يسمى حدود التسلسل ، بينما تسمى الألعاب قيمة حدود التسلسل.

أنواع المتتابعات

هناك عدة أنواع من المتتاليات أهمها:

المتتابعات الحسابية

يتم تعريف المتتاليات الحسابية على أنها التسلسل الذي يتم فيه إصلاح الفرق بين كل من المصطلحين ، ويتم الإشارة إلى الفرق الثابت بين مصطلحي التسلسل (د) ، ويسمى المصطلح الأول من التسلسل بقاعدة ويرمز له بالرمز (H1) ، وبعض الأمثلة على المتواليات الحسابية: 10 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 ، … .. الفرق هنا بين كل من المصطلحين ثابت ويساوي 2 ، والتسلسل يتبع الحساب قاعدة ثابتة وهي:

• hn = h1 + (n – 1) x d

في حين أن:

• n: هو الرقم الذي يعبر عن ترتيب المصطلح الذي يتم البحث عن قيمته.
• hn: القيمة المحددة.

من الممكن إيجاد مجموع مصطلحات المتسلسلة الحسابية حتى مصطلح محدد يسمى (n) بفضل القاعدة التالية:

• المجموع = (ن / 2) × (2 × س 1 + (ن -1) × د)

أمثلة على المتتابعات الحسابية

فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح مفهوم المتتاليات الحسابية:

• المثالُ الأولأوجد أساس التسلسل التالي: 15 ، 19 ، 23 ، 27 ، 31 ، 35 ، 39 ، …….
  • الفرق بين كل من المصطلحين المتتاليين في التسلسل هو 4 ، وهي قيمة (د) ، في حين أن الحد الأول له قيمة 15.
  • قاعدة التقدم الحسابي: hn = 15 + (n – 1) x 4 = 15 + 4 n – 4 = 11 + 4 n.
• المثال الثاني: أوجد مجموع المصطلحات الثلاثة الأولى في التسلسل الحسابي التالي: 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 …… ..
  • يمكن إيجاد مجموع شروط المتتالية الحسابية بالقاعدة التالية:
  • المجموع = (ن / 2) × (2 × س 1 + (ن -1) × د)
  • مجموع الحدود الستة الأولى = n = 6: (6/2) x (2 x 5 + 5 x 2)
  • مجموع الحدود الستة الأولى = 3 × 20 = 60

المتتابعات الهندسية

يتم تعريف المتتاليات الهندسية على أنها التسلسل الذي يتم فيه تثبيت النسبة بين كل من المصطلحين ، وتعني النسبة نتيجة القسمة بين كل من المصطلحين ، وتتبع المتتاليات الهندسية قاعدة معينة ، بحيث يمكن قياس جميع المتتاليات عليها وهذه القاعدة هي:

• hn = a xr (n-1)

في حين أن:

• ج: المصطلح الأول من حدود المتتالية الهندسية ، والمعروف بأساس المتسلسلة.
• ج: النسبة الثابتة بين كل من مصطلحي التسلسل الهندسي.

يمكن العثور على مجموع شروط التسلسل الهندسي حتى مصطلح محدد يسمى (n) باتباع القواعد التالية:

• إذا كان r
• إذا كانت r> 1 ، فإن المجموع = ax (r-1) / (r-1).

أمثلة على المتتابعات الهندسية:

• المثالُ الأول: ما أساس التسلسل الهندسي التالي: 3 ، 9 ، 18 ، 54 ، 162 ،….
  • النسبة بين كل من المصطلحين المتتاليين هي (r = 3)
  • A = قيمة الحد الأول من المتتالية الهندسية = 3
  • قاعدة التسلسل الهندسي: hn = axr (n-1)
  • hn = 3 × 3 (ن -1)
• المثال الثاني: ما أساس التسلسل الهندسي التالي: 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، …
  • النسبة بين كل من المصطلحين المتتاليين هي (r = 2)
  • A = قيمة الحد الأول من المتتالية الهندسية = 2
  • قاعدة التسلسل الهندسي: hn = axr (n-1)
  • ح = 2 × 2 (ن -1)

أنواع أخرى من المتتابعات

هناك عدة أنواع من التسلسلات التي تتبع قواعد محددة ومختلفة. ربما يكون أحد أشهر أنواع المتتاليات هو تسلسل فيبوناتشي ، الذي يتبع قاعدة عامة تنص على أن الحد التالي من حدين متتاليين يساوي مجموعهما. لفهم تسلسل فيبوناتشي ، نستخدم المثال التالي: 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، … .. هنا نجد أن 2 + 3 = 5 (المصطلح التالي لـ 3) ، 3 + 5 = 8 ( المصطلح التالي لـ 5) ، 5 + 8 = 13 (المصطلح التالي لـ 8) ، 8 + 13 = 21 (المصطلح التالي للرقم 13) ، ويمكن تلخيص المثل من خلال إنشاء القاعدة العامة لمتسلسلة فيبوناتشي:

• hn = h n-1 + h n-2

إيجاد قاعدة المتتابعات

الخطوة الأولى لإيجاد أساس المتتاليات هي معرفة نوعه ، سواء كان تسلسلًا حسابيًا أم تسلسلًا هندسيًا أم متسلسلًا فيبوناتشي ، لأن كل منها يتبع القواعد المذكورة أعلاه ، وإذا لم يكن التسلسل حسابيًا أو هندسيًا ، أو فيبوناتشي ، يمكن معرفة قاعدة التسلسل بالتخمين. والتماثل صحيح وخطأ ، على سبيل المثال في التسلسل التالي: 1 ، 8 ، 27 ، 64 ، 125 ، 216 ، 343 ، ……… هنا الفرق بين المصطلحات غير ثابت ، والنسبة n ‘ليست ثابت ، والحد الثالث ليس مجموع حدين ، وبالتخمين ، نجد أن كل حد هو مكعب رقم معين في صف ، أي hn = n3 ، لأن 13 = 1 ، 23 = 8 ، 33 = 27 ، 43 = 64 ، 53 = 125 ، 63 = 216 ، 73 = 343 ، ومن خلال إيجاد أساس هذه المتتالية ، يمكن معرفة باقي حدودها هي 1 ، 8 ، 27 ، 64 ، 125 ، 216 ، 343 ، 512 ، 729 ، 1000.

أمثلة متنوعة حول المتتابعات

تهدف الأمثلة التوضيحية إلى ترسيخ مفهوم المتتاليات وأنواعها بين الطلاب ، ومن بين الأمثلة المختلفة للتسلسلات ، يمكننا الاستشهاد بما يلي:

• المثالُ الأول: أوجد الحد العشرين في التسلسل التالي: 2، 4، 6، 8، 10، 12،…. ؟
  • الخطوة الأولى: تحديد نوع المتتالية ، تسلسل حسابي ، لأن الفرق بين كل من حديها ثابت = 2 = د
  • الخطوة الثانية: اكتب قاعدة التسلسل: hn = h 1 + (n – 1) xd
  • hn = 2 + (n – 1) x 2
  • ح 20 = 2 + 2 ن – 2
  • ح 20 = 2 ن
  • ح 20 = 2 × 20
  • ح 20 = 40
• المثال الثاني: أوجد الحدود المفقودة في التسلسل: 5،…،…، 625، 3125، 15625
  • للعثور على المصطلحات المفقودة ، من الضروري تحديد نوع التسلسل ، سواء كان حسابيًا أو هندسيًا أو فيبوتانشي
  • الخطوة 1: تحديد نوع التسلسل ، التسلسل الهندسي ، لأن الفرق بين المصطلحات الثلاثة ثابت = 5 = r
  • الخطوة الثانية: ابحث عن القاعدة العامة للتتبع الهندسي: hn = axr (n-1)
  • أوجد الحد الثاني: h 2 = 5 x 5 (2-1)
  • ح 2 = 5 × 5 = 25
  • أوجد الحد الثالث: h 3 = 5 x 5 (3-1)
  • ح 3 = 5 × 5 2
  • ع 3 = 5 × 25 = 125
  • متسلسل: 5 ، 25 ، 125 ، 625 ، 3125 ، 15625
• المثالُ الثالث: ما أساس التسلسل: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، …
  • الخطوة الأولى: تحديد نوع التسلسل: متتالية حسابية ، لأن الفرق بين كل من حديها ثابت = 1 = د
  • الخطوة الثانية: اكتب القاعدة العامة للمتتالية الحسابية: hn = h 1 + (n – 1) xd
  • الخطوة الثالثة: طبق القاعدة العامة: hn = 1 + (n – 1) x 1 = 1 + n – 1 = n

ملاحظات هامة حول المتتابعات

بعض الملاحظات المهمة حول التسلسلات ، بما في ذلك:

• التسلسل غير ملزم باتباع أي قاعدة محددة أو قانون عام ، حيث يمكن تحديد قاعدته من خلال التخمين.
• إذا تم تحديد المصطلح الأخير من التسلسل ، فإنه يصنف على أنه تسلسل محدود.
• إذا لم يتم تحديد المصطلح الأخير من التسلسل ، فإنه يصنف على أنه تسلسل لا نهائي.
• يعبر المصطلح n عن قيمة المصطلح ، ويمكن اختصاره بالرمز hn.
• يمكن تمييز التسلسل الحسابي عن التسلسل الهندسي بعمليات الطرح والقسمة. إذا كان الفرق ثابتًا في عملية الطرح ، فإن التسلسل يكون حسابيًا.
• لا يلزم تصنيف المتتاليات كتسلسل هندسي أو تسلسل حسابي ، حيث توجد أنواع أخرى من التسلسلات التي تتبع قواعد مختلفة.

تطبيقات المتتابعات في الحياة

تتعدد استخدامات المتتاليات في الحياة اليومية ، فهي توفر الوقت وتقصير الجهد وتسهل الحساب ، ومن بين التطبيقات:

• يتم استخدام التسلسلات لتخطيط الديون المتبقية لشخص ما.
• يتم استخدام التسلسلات لحساب الأقساط السنوية.
• يتم استخدام التسلسلات في العديد من الحالات المصرفية.
• تشارك المتتاليات في البناء الرياضي والعديد من التطبيقات الرياضية.

تعريف المتسلسلات

يتم تعريف المتتالية أو المتسلسلة على أنها مجموع مصطلحات التسلسل ، سواء كانت هذه المصطلحات وظائف أو أرقام ، على سبيل المثال المتتالية الحسابية 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، … ، والتسلسل 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ، السلسلة تتبع قاعدة معينة:

في حين أن:

• Σ: علامة الجمع
• k = 0 أو t = 0: يحدد المصطلح الأول من السلسلة.
• n أو n: يعيّن المصطلح n أو المصطلح الأخير من السلسلة.
• ak أو hn: الحد …