ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات

ما هي الأعداد النسبية في الرياضياتيحتوي العلم الرياضي على مجموعات مختلفة من الأرقام تبدأ بمجموعة الأعداد الطبيعية والتي تشمل الأعداد الصفرية والموجبة ، ومجموعة الأعداد الصحيحة التي تشمل الأعداد الصفرية والموجبة والسالبة ، والأعداد المنطقية التي تشمل الكسور والأرقام غير النسبية ، ومن خلال موقعنا سوف نتعلم ما هي الأرقام المنطقية في الرياضيات.

ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات

تُعرَّف الأعداد المنطقية في الرياضيات على أنها أرقام يمكن كتابتها في شكل كسري أ / ب بحيث يكون البسط والمقام عددًا صحيحًا والمقام ليس صفراً ، مما يعني أن أ وب ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، وب لا يساوي إلى الصفر ، لذلك إذا كنت تساوي صفرًا ، يصبح المقام غير معرف ، ويسمى الرقم المنطقي عددًا منطقيًا موجبًا إذا كان البسط والمقام لهما نفس العلامة ، ثم يطلق عليه رقم عقلاني سالب إذا كان البسط و المقام له علامات مختلفة. ، مثل الأرقام التي تحتوي على جذور تربيعية لأرقام عشرية مربعة وغير نهائية غير كاملة.

أمثلة على الأعداد النسبية

بعد معرفة الأرقام المنطقية في الرياضيات ، هناك عدة أمثلة توضيحية لصورة الأعداد المنطقية ، ومن بين هذه الأمثلة:

الأعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة هي الأرقام التي تحتوي على أرقام موجبة وأرقام سالبة وصفر ، وجميع الأعداد الصحيحة تعتبر أعدادًا منطقية ، لأن البسط هو العدد الصحيح والمقام عدد صحيح ، ومن الأمثلة على ذلك:

• الرقم 10 هو عددُ نسبيْ: يمكن كتابته في صورة كسر 1/10 والمقام يساوي واحدًا
• الرقم -4 هو رقم نسبي: يمكن كتابته في صورة كسر -4/1 ، والمقام هو واحد.
• الرقم 0 هو عددُ نسبي: يمكن كتابتها بالشكل 0/1 والمقام يساوي واحدًا

الكسور والأعداد الكسرية

الكسر هو الكسر الذي يمكن كتابته على شكل بسط ومقام ، بحيث ينتمي البسط والمقام إلى مجموعة الأعداد الصحيحة وقيمة المقام لا تساوي صفرًا. يمكن ترجمتها بواسطة الرموز. b لمجموعة الأعداد الصحيحة ، و b لا تساوي الصفر ، والأرقام المنطقية تتبع نفس تعريف الكسور ، وهي أيضًا أرقام منطقية ، ومن الأمثلة على ذلك:

• يعتبر الكسر 2/4 عددًا نسبيًا ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي صفرًا.
• يعتبر العدد الكسري 5 و 3/2 عددًا نسبيًا لأنه يمكن تحويله إلى كسر في الصورة أ / ب ، ومقامه لا يساوي صفرًا.

ملحوظة: بعض الكسور لا تعتبر نسبية كما هو موضح في الأمثلة:

• يعتبر الكسر 0/20 عددًا غير نسبي ، على الرغم من أن 0 و 20 ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، إلا أن المقام هو صفر ، مما يؤدي إلى قيمة غير محددة.
• يعتبر الكسر π / 9 عددًا غير نسبي على الرغم من أن المقام عدد صحيح ولا يساوي صفرًا ، إلا أن π ليس عددًا نسبيًا.

الكسور العشرية

الكسور العشرية هي كسور عقلانية يمكن كتابتها في صورة كسرية تتكون من بسط ومقام إذا كانت كسور منتهية أو متكررة.

• يعتبر الكسر العشري 1.2 عددًا نسبيًا ، لأنه يمكن التعبير عنه في صورة 1/2/1 ، وعندما يضرب البسط والمقام في الرقم 10/10 ، ينتج الرقم 10/12 ، وهو رقم نسبي ، لأن العددين 12 و 10 عدد صحيح ، والعدد 10 لا يساوي صفرًا.
• الكسر العشري المتكرر … 5.555 يعتبر رقمًا منطقيًا ، لأنه يمكن كتابته كرقم كسري 5 و 1/5 ، ويمكن تحويل هذا الرقم المختلط إلى 10/5 ، والذي يعتبر عددًا منطقيًا.

شاهد أيضًا: يسمى الرقم غير النسبي عددًا صحيحًا

أشهرُ الأمثلة على الأعداد غير النسبية

الأعداد غير النسبية هي كسور لا نهائية ، أو كسر مقامه صفر ، وأشهر الأمثلة على الأعداد غير النسبية هي:

• الرقم π: يعتبر رقماً غير نسبي لأن قيمته تساوي 3.1415926535897932384626433832795 وهو كسر عشري لا نهائي.
• العدد النيبيري هـ: يعتبر رقمًا غير نسبي لأن قيمته تساوي 2.7182818284590452353602874713527 ، وهو كسر عشري لا نهائي.
• بعض الجذور التربيعية والتكعيبية: قيمتها تساوي الأعداد العشرية اللانهائية ، مثل الجذر التربيعي للعدد 3.

شاهد أيضًا: حل كتاب الرياضيات ، الإعدادي الثاني ، الفصل الأول 1444

خصائص الأعداد النسبية

فيما يلي مجموعة من الخصائص العامة للأرقام المنطقية ، بما في ذلك:

• عند ضرب عددين منطقيين ، يكون المنتج هو حاصل ضرب بسط العددين وحاصل ضرب مقام العددين.
• عند جمع عددين منطقيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة مجموع البسطين في العددين ، ويظل المقام كما هو.
• عند طرح رقمين منطقيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة ناتج طرح بسط العددين ، ويظل المقام كما هو.
• عند ضرب أو جمع أو طرح رقمين منطقيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة عددًا نسبيًا ، ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
• عندما تقسم بسط ومقام عدد نسبي على عدد صحيح قيمته لا تساوي صفرًا ، تكون النتيجة أيضًا رقمًا نسبيًا.
• عندما نضرب بسط ومقام عدد نسبي في عدد صحيح قيمته لا تساوي صفرًا ، تكون النتيجة أيضًا رقمًا نسبيًا.
• دائمًا ما يساوي الجذر التربيعي عددًا نسبيًا وقيمته هي الرقم الموجود داخل الجذر.
• يمكن أن يؤدي ناتج الجذور غير المنطقية في بعض الأحيان إلى عدد غير منطقي.
• إذا كان البسط والمقام للرقم المنطقي يشتركان في 1 فقط ، فإنه يسمى الشكل القياسي للرقم المنطقي.
• يمكن أن تؤدي عملية جمع أو طرح الأعداد غير المنطقية فقط إلى أرقام منطقية إذا كان للرقمين إشارات متعاكسة ويلغي أحدهما الآخر.

أسئلة متنوعة حول الأعداد النسبية

تساعد الأسئلة المختلفة على فهم تعريف الأعداد المنطقية تمامًا ، بما في ذلك ما يلي:

• السؤال الأول: هل تمثل الكسور التالية أعدادًا منطقية؟
  • الكسر 8/5: يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي صفرًا.
  • الكسر 0/4: لا يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن المقام هو صفر ، لذا فهو رقم غير محدد.
  • -8: يعتبر رقمًا منطقيًا ، لأنه يمكن كتابته كـ 1/8.
  • 0: يعتبر رقمًا منطقيًا لأنه يمكن كتابته كـ 0/1
• السؤال الثاني: هل الأرقام العشرية التالية تمثل أرقامًا منطقية؟
  • 2.585858585858: رقم نسبي ، لأنه كسر دوري يتكرر فيه الرقمان 5 و 8 بنفس التردد.
  • 1.4789: رقم نسبي ، لأنه كسر عشري منتهي.
• السؤال 3: هل القيم التالية تعتبر كسورًا منطقية أم أنها شيء آخر؟
  • 2/4: رقم نسبي ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي الصفر.
  • 1 و 3/4: عدد نسبي ، لأنه يساوي الكسر 7/4 الذي يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن البسط والمقام يمثلان عددين صحيحين ، والمقام لا يساوي صفرًا.
  • 7895/200: رقم نسبي ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي الصفر.

مقارنة الأعداد النسبية

مقارنة الأرقام المنطقية هي عملية تُظهر علاقة الأرقام ببعضها البعض من خلال علامات المقارنة مثل علامة التساوي ، أكبر من علامة وأقل من علامة ، بحيث تحدد ما إذا كانت القيمة مساوية أو أكبر من أو أقل من القيمة الأخرى ، وتستخدم العلامات والرموز لمقارنة الأعداد المنطقية ، وهي كالتالي:

• إشارة التساوي (=): يتم استخدامه للإشارة إلى أن قيمتين متساويتين ، على سبيل المثال 3/4 = 3/4
• أقل من علامة (
• إشارة أكبر من (>): يتم استخدامه للإشارة إلى أن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية ، على سبيل المثال 1/5> 1/7

مقارنة الأعداد النسبية الموجبة

الرقم المنطقي الموجب هو الرقم الذي يكون فيه البسط وعلامة المقام موجبين ، وتتم عملية مقارنة الأرقام المنطقية وفقًا للخطوات التالية:

• على سبيل المثال: قارن الرقم 6/3 بالرقم 4/5:
• توحيد مقامات الأعداد النسبية بتحديد المضاعف المشترك الأصغر
• المضاعف المشترك الأصغر للعدد 6/3 و 4/5 هو 15
• نضرب بسط ومقام 6/3 في 5 لنحصل على 15/30
• نضرب بسط ومقام 4/5 في 3 لنحصل على 12/15
• نجد أن 30/15 = (5 × 3) / (5 × 6) = 6/3
• نجد أن 12/15 = (3 × 5) / (3 × 4) = 4/5
• تصبح المقارنة 30/15 و 12/15.
• نحن نقارن البسط لكل رقم بعد ضم المقامات ، والرقم ذو البسط الأكبر هو الرقم الأكبر ، وبما أن البسط عدد صحيح ، فإنه تتم مقارنته بنفس طريقة المقارنة بين الأعداد الصحيحة.
• نجد أن العدد 30 أكبر من العدد 12
• إذن 30/15 أكبر من 12/15 ، لذا 6/3> 4/5

مقارنة الأعداد النسبية السالبة

الرقم المنطقي السالب هو رقم يكون فيه كل من البسط وعلامة المقام سالبين ، وتكون عملية مقارنة الأرقام المنطقية السالبة كما يلي:

• توحيد مقامات الأعداد النسبية ، بتحديد المضاعفات …